Главная страница
Навигация по странице:

  • Виды преобразования Фурье

  • Прямое преобразование Фурье

  • Прямое преобразование Фурье Базовая комплексная функция или коэффициент преобразования Фурье записывается следующим образом: Прямое преобразование Фурье

  • Прямое преобразование Фурье Свойство симметрии: Свойство периодичности: Обратное преобразование Фурье

  • Коэффициенты преобразования Фурье в полярной системе координат

  • Свойства преобразования Фурье

  • Re[X(k)] = Re[X(N-k)] и Im[X(k)] = -Im[X(N-k)] где k = 1, 2, …, M-1 Эта же зависимость, представленная в полярной системе координат: Свойства преобразования Фурье

  • Быстрое преобразов. БПФ. Быстрое преобразование Фурье


    Скачать 419 Kb.
    НазваниеБыстрое преобразование Фурье
    АнкорБыстрое преобразов
    Дата22.03.2020
    Размер419 Kb.
    Формат файлаppt
    Имя файлаБПФ.ppt
    ТипПрограмма
    #57528
    Быстрое преобразование Фурье

    Введение


    В качестве примера рассмотрим представление сигнала типа «меандр» с помощью набора гармонических функций:


    Программа в среде MathLab, реализующая данную функцию:


    Результат синтеза:

    Виды преобразования Фурье

    Если сигнал является непрерывным во времени и непериодическим – для его анализа в частотной области используется преобразование Фурье (FT).
    Для непрерывных во времени и периодических сигналов применяется последовательность Фурье (FS).
    Если сигнал дискретный во времени и непериодический – для его анализа применяется дискретное во времени преобразование Фурье (DTFT).
    Дискретные во времени и периодические сигналы анализируются с помощью дискретного преобразования Фурье (DFT). Только дискретное преобразование Фурье является физически реализуемым аппаратными средствами.

    Прямое преобразование Фурье

    Прямое дискретное преобразование Фурье позволяет получить для цифрового сигнала x(n), период которого задан N точками, N значений спектральной характеристики, расположенных равномерно в полосе от 0 до fS с шагом 2π/N или fS/N.
    Математическая запись преобразования Фурье: Сигнал x(n) определен только в диапазоне от 0 до N-1.

    Прямое преобразование Фурье

    Для двух крайних точек в спектре сигнала X(0) и X(N/2) легко определить их значения: и
    В обобщенном виде формула для прямого ДПФ записывается:

    Прямое преобразование Фурье

    Базовая комплексная функция или коэффициент преобразования Фурье записывается следующим образом:

    Прямое преобразование Фурье

    Если n=N, то значение коэффициента преобразования Фурье будет равно:
    Если n=N/2, то значение коэффициента преобразования Фурье будет равно:
    Коэффициенты преобразования Фурье обладают свойством симметрии и периодичности.

    Прямое преобразование Фурье

    Свойство симметрии:
    Свойство периодичности:

    Обратное преобразование Фурье

    Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить сигнал x(n) во временной области по его спектру X(k). Математическая запись обратного преобразования Фурье следующая:

    Коэффициенты преобразования Фурье в полярной системе координат

    Комплексные коэффициенты могут быть представлены в полярной системе координат:
    Амплитудно-частотная характеристика:
    Фазочастотная характеристика:

    Свойства преобразования Фурье

    Свойство линейности: для двух сигналов во временной области x(n) и y(n), имеющих одинаковую длину n, истинным является где a и b – любые постоянные коэффициенты
    Любой сложный входной сигнал можно разложить на простые составляющие и определить их спектр. Результирующий спектр определяется как сумма всех простых составляющих.

    Свойства преобразования Фурье

    Свойство комплексной сопряженности: для сигнала во временной области {x(n), 0 < n < N-1}, представленного действительными отсчетами, истинным является X(-k) = X*(k) = X(N-k), 0 < k < N-1 или в другом виде X(M+k) = X*(M-k), 0 < k < M, где X*(k) – комплексно-сопряженное значение X(k); M = N/2, если N – четное число; M = (N-1)/2 – если N – нечетное число.
    Данное свойство говорит о том, что для определения всех спектральных составляющих сигнала достаточно определить только (M+1) его компонентов

    Свойства преобразования Фурье

    Свойство комплексной сопряженности означает, что действительные и мнимые части числа связаны между собой следующей зависимостью: Re[X(k)] = Re[X(N-k)] и Im[X(k)] = -Im[X(N-k)] где k = 1, 2, …, M-1
    Эта же зависимость, представленная в полярной системе координат:

    Свойства преобразования Фурье

    Графически это выглядит следующим образом:

    Свойства преобразования Фурье

    Свойство периодичности: результатом прямого и обратного преобразования Фурье является периодический сигнал с периодом повторения, равным N: X(k) = X(k + N) для всех k, и x(n) = x(n + N) для всех n.
    Таким образом, сигналы x(n) и X(k) описывают только один период последовательности.


    Применение алгоритма БПФ позволяет существенно снизить количество выполняемых операций при вычислении спектра сигнала. Если для сигнала, состоящего из N отсчетов, вычисление ДПФ требует выполнения N2 операций умножения, то для этого же сигнала, при использовании БПФ, понадобиться только Nlog2N операций.
    Алгоритм БПФ основан на свойствах симметричности коэффициентов преобразования Фурье (некоторые коэффициенты равны 0 или 1):


    Шаг 1. Прореживание (децимация) входного сигнала. - исходный сигнал, состоящий из N отсчетов, разбивается на две последовательности, состоящие из N/2 отсчетов (четные и нечетные) x1(m) = x(2m) и x2(m) = x(2m + 1) для m = 0, 1,…, (N/2-1)
    Спектр исходного сигнала определяется как сумма спектров этих двух последовательностей:


    Перезапишем коэффициент преобразования Фурье в другом виде:
    Тогда уравнение спектра исходного сигнала можно изменить:


    Учитывая свойства периодичности и симметрии можно записать уравнение спектра в несколько ином виде: ={ где X1(k)=DFT[x1(m)] и X2(k)=DFT[x2(m)] по N/2 - точкам


    Графическое представление такого разложения для сигнала, содержащего 8 отсчетов, показано на рисунке: для такой структуры нужно выполнить только (N2+N)/2 операций умножения.


    Такой способ организации вычислений носит название «бабочки» и изображается в упрощенном виде:
    Одно такое звено выполняет одну операцию комплексного умножения на коэффициент Фурье, одну операцию сложения и одну операцию вычитания.
    Если количество отсчетов в сигнале N кратно степени числа 2, то исходную последовательность можно прореживать до тех пор, пока последний каскад будет обрабатывать два однобитных числа.


    Пример дальнейшего разложения исходной 8-точечной последовательности:


    Самый первый каскад, обрабатывающий только два отсчета, выполняет только две операции – сложение и вычитание, т.к. коэффициент преобразования Фурье для него всегда равен 1:
    Другими словами, т.к.


    Для быстрой сортировки исходного массива перед применением БПФ во всех сигнальных процессорах применяется бит-реверсная адресация. Пример ее использования для сортировки массива из 8 отсчетов:


    Пример программы, анализирующей спектр сигналов с помощью БПФ


    Результат работы программы:



    написать администратору сайта