Главная страница
Финансы
Экономика
Математика
Начальные классы
Биология
Информатика
Ветеринария
Сельское хозяйство
Медицина
Дошкольное образование
Воспитательная работа
Философия
Религия
Этика
Логика
Вычислительная техника
Право
Юриспруденция
Физика
История
Русский язык и литература
Другое
Классному руководителю
Социология
Политология
Языки
Технология
Языкознание
образование
Доп
Физкультура
Химия
Строительство
Электротехника
Автоматика
Связь
Иностранные языки
Промышленность
Энергетика
Искусство
Культура
Геология
Экология
Логопедия
ИЗО, МХК
Школьному психологу
География
Социальному педагогу
Директору, завучу
Музыка
Обществознание
Казахский язык и лит
ОБЖ
Языки народов РФ
Украинский язык

Задания по аналитической механике2019


Скачать 89,94 Kb.
НазваниеЗадания по аналитической механике2019
Дата06.06.2019
Размер89,94 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаzadanie-2019.pdf.pdf
ТипДокументы
#56844

ЗАДАНИЯ по АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ-2019
Задание ќ1
(сдать до 15 марта)
1. Некий астроном обнаружил крупный астероид, летящий к Земле, и сумел измерить следующие данные: расстояние от центра Земли r
0
= 5R
, прицельный параметр ?
0
= 3R
,
скорость v
0
. Найти, при каких значениях скорости v
0
этот астероид упадјт на Землю.
Землю считать однородным шаром радиуса R = 6 400 км, ускорение свободного падения на еј поверхности g = 10 м/с
2 2. Частица движется в поле U(r) = ?r
n
по траектории, близкой к окружности (то есть испытывая малые колебания по радиусу). Найти отношение частоты малых радиальных колебаний ?
r
к средней угловой скорости ? ??? орбитального движения.
3. Одна частица массы m движется вдоль оси x с большого расстояния со скоростью v в сторону начала координат O. Другая частица такой же массы движется в сторону начала координат вдоль оси y с большого расстояния с такой же по величине скоростью. Если бы частицы не взаимодействовали, то вторая пролетела бы через точку O спустя время ?
после первой. Однако они отталкиваются друг от другу, причјм потенциальная энергия взаимодействия U(r) = ?/r, где r  расстояние между частицами. Найти наименьшее расстояние между частицами. Указание: ввести относительное расстояние r = r
1
? r
2
и учесть, что при временах t, близких к начальному моменту времени t
0
? ??, можно считать, что r = (vt, ?v(t ? ?), 0); пользуясь этим выражением, найти момент импульса
M =
1 2
mr
Ч ?r и эффективную потенциальную энергию U
эф
(r)
4. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц в поле
U (r) = V
?
1
? r
2
a
2
при r < a и U(r) = 0 при r > a, считая E ? V . Чему равно полное сечение рассеяния? Указание: удобно использовать формулу (6.6) из КСЧ.
Задание ќ2
(сдать до 30 апреля)
5. Бусинка скользит по гладкой проволоке, имеющей форму y(x) = a ch(x/b) и рас- положенной в вертикальной плоскости (ось x направлена по горизонтали, ось y  по вертикали вверх) в поле тяжести g = (0, ?g). Найти частоту малых колебаний бусинки.
6. Определить нормальные колебания системы четырех частиц, соединенных одинаковыми пружинками и могу- щих двигаться только вдоль оси AB.
k k
k m
m
M
M
A
B
7. Одна частица массы m движется по горизонталь- ной прямой между двумя пружинками жесткости k. Вто- рая частица массы m связана с первой стержнем длины l
и может колебаться в вертикальной плоскости, в которой расположены пружинки и вектор ускорения силы тяжес- ти g. Найти:
1) функцию Лагранжа системы L(x, ?, ?x, ??) (в качестве обобщјнных координат выбрать смещение первой частицы из положения равновесия x и угол отклонения стержня от вертикали ?);
2) частоты малых нормальных колебаний системы.
k k
m m
g x
?
1

8. а) Задан вектор вида
V
i
(r, p) = f
1
x
i
+ f
2
p
i
,
где f
1,2
 функции от r и p, инвариантные относительно поворота системы координат.
Выразить скобки Пуассона {V
i
, M
k
} через компоненты этого же вектора.
б) Найти скобки Пуассона {p
2
x
, M
z
}, {p
2
y
, M
z
}, {p
2
z
, M
z
}, {p
2
, M
z
}.
9. Показать, что преобразование
q = Q cos ? + [P/(m?)] sin ?,
p =
?m?Q sin ? + P cos ?,
является каноническим и найти его производящую функцию в переменных q, Q. Полагая
? = ?t
, найти новую функцию Гамильтона гармонического осциллятора H
?
(P, Q)
, для которого H(p, q) =
p
2 2m
+
m?
2
q
2 2
10. Поток одинаковых частиц c одинаковой энергией E, летящих вдоль оси z, движется в потенциальном поле U(r) = a cos ?
r
2
?
?
r
4
. Найти сечение падения частиц в начало коор- динат. Указание: воспользоваться интегралом движения (33.24) из КСЧ для нахождения эффективной потенциальной энергии U
эф
(r)
Задание ќ3
(сдать до 30 мая)
11. Малые колебания связанных осцилляторов описываются гамильтонианом
H =
1 2m
[
p
2
x
+ (m?
x
x)
2
+ p
2
y
+ (m?
y
y)
2
]
? m?x
2
y.
Выбрать параметры a, b и c в каноническом преобразовании с производящей функцией
?(x, y, P
x
, P
y
) = xP
x
+ yP
y
+ axyP
y
+ bP
x
P
2
y
+ cy
2
P
x
так, чтобы в новых переменных система сводилась к двум независимым осцилляторам,
если в новом гамильтониане пренебречь слагаемыми второй степени по ?. Найти x(t) и
y(t)
с учјтом поправок первой степени по ?.
12. Найти траекторию релятивистской частицы в кулоновском поле U(r) = ? ?/r с помощью уравнения ГамильтонаЯкоби. Нарисовать приближенный вид траектории Мер- курия в поле Солнца с учетом релятивистских поправок.
13. Найти нормальные колебания однородного кольца радиуса R, подвешенного на нити длиною R в поле тяжести g. Рассмотреть лишь малые колебания в плоскости кольца.
14. Шарик массы m движется между тяжјлым поршнем массы
M
? m и дном цилиндра. Равновесное расстояние от дна цилиндра до поршня равно X
0
. Считая, что скорость шарика гораздо боль- ше скорости поршня, определить закон движения поршня, усреднјн- ный по периоду движения шарика. Найти частоту малых колебаний поршня. Соударения считать упругими, ускорение свободного паде- ния g. (Модель газа, состоящего из одной молекулы.)
M
m
2
написать администратору сайта