Главная страница

Задания по аналитической механике2019


Скачать 89,94 Kb.
НазваниеЗадания по аналитической механике2019
Дата06.06.2019
Размер89,94 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаzadanie-2019.pdf
ТипДокументы
#56844

Подборка по базе: Вопросы и задания.doc, Вопросы и задания.doc, Бланк выполнения задания-3 1 и 2.docx.

ЗАДАНИЯ по АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ-2019
Задание ќ1
(сдать до 15 марта)
1. Некий астроном обнаружил крупный астероид, летящий к Земле, и сумел измерить следующие данные: расстояние от центра Земли r
0
= 5R
, прицельный параметр ?
0
= 3R
,
скорость v
0
. Найти, при каких значениях скорости v
0
этот астероид упадјт на Землю.
Землю считать однородным шаром радиуса R = 6 400 км, ускорение свободного падения на еј поверхности g = 10 м/с
2 2. Частица движется в поле U(r) = ?r
n
по траектории, близкой к окружности (то есть испытывая малые колебания по радиусу). Найти отношение частоты малых радиальных колебаний ?
r
к средней угловой скорости ? ??? орбитального движения.
3. Одна частица массы m движется вдоль оси x с большого расстояния со скоростью v в сторону начала координат O. Другая частица такой же массы движется в сторону начала координат вдоль оси y с большого расстояния с такой же по величине скоростью. Если бы частицы не взаимодействовали, то вторая пролетела бы через точку O спустя время ?
после первой. Однако они отталкиваются друг от другу, причјм потенциальная энергия взаимодействия U(r) = ?/r, где r  расстояние между частицами. Найти наименьшее расстояние между частицами. Указание: ввести относительное расстояние r = r
1
? r
2
и учесть, что при временах t, близких к начальному моменту времени t
0
? ??, можно считать, что r = (vt, ?v(t ? ?), 0); пользуясь этим выражением, найти момент импульса
M =
1 2
mr
Ч ?r и эффективную потенциальную энергию U
эф
(r)
4. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц в поле
U (r) = V
?
1
? r
2
a
2
при r < a и U(r) = 0 при r > a, считая E ? V . Чему равно полное сечение рассеяния? Указание: удобно использовать формулу (6.6) из КСЧ.
Задание ќ2
(сдать до 30 апреля)
5. Бусинка скользит по гладкой проволоке, имеющей форму y(x) = a ch(x/b) и рас- положенной в вертикальной плоскости (ось x направлена по горизонтали, ось y  по вертикали вверх) в поле тяжести g = (0, ?g). Найти частоту малых колебаний бусинки.
6. Определить нормальные колебания системы четырех частиц, соединенных одинаковыми пружинками и могу- щих двигаться только вдоль оси AB.
k k
k m
m
M
M
A
B
7. Одна частица массы m движется по горизонталь- ной прямой между двумя пружинками жесткости k. Вто- рая частица массы m связана с первой стержнем длины l
и может колебаться в вертикальной плоскости, в которой расположены пружинки и вектор ускорения силы тяжес- ти g. Найти:
1) функцию Лагранжа системы L(x, ?, ?x, ??) (в качестве обобщјнных координат выбрать смещение первой частицы из положения равновесия x и угол отклонения стержня от вертикали ?);
2) частоты малых нормальных колебаний системы.
k k
m m
g x
?
1

8. а) Задан вектор вида
V
i
(r, p) = f
1
x
i
+ f
2
p
i
,
где f
1,2
 функции от r и p, инвариантные относительно поворота системы координат.
Выразить скобки Пуассона {V
i
, M
k
} через компоненты этого же вектора.
б) Найти скобки Пуассона {p
2
x
, M
z
}, {p
2
y
, M
z
}, {p
2
z
, M
z
}, {p
2
, M
z
}.
9. Показать, что преобразование
q = Q cos ? + [P/(m?)] sin ?,
p =
?m?Q sin ? + P cos ?,
является каноническим и найти его производящую функцию в переменных q, Q. Полагая
? = ?t
, найти новую функцию Гамильтона гармонического осциллятора H
?
(P, Q)
, для которого H(p, q) =
p
2 2m
+
m?
2
q
2 2
10. Поток одинаковых частиц c одинаковой энергией E, летящих вдоль оси z, движется в потенциальном поле U(r) = a cos ?
r
2
?
?
r
4
. Найти сечение падения частиц в начало коор- динат. Указание: воспользоваться интегралом движения (33.24) из КСЧ для нахождения эффективной потенциальной энергии U
эф
(r)
Задание ќ3
(сдать до 30 мая)
11. Малые колебания связанных осцилляторов описываются гамильтонианом
H =
1 2m
[
p
2
x
+ (m?
x
x)
2
+ p
2
y
+ (m?
y
y)
2
]
? m?x
2
y.
Выбрать параметры a, b и c в каноническом преобразовании с производящей функцией
?(x, y, P
x
, P
y
) = xP
x
+ yP
y
+ axyP
y
+ bP
x
P
2
y
+ cy
2
P
x
так, чтобы в новых переменных система сводилась к двум независимым осцилляторам,
если в новом гамильтониане пренебречь слагаемыми второй степени по ?. Найти x(t) и
y(t)
с учјтом поправок первой степени по ?.
12. Найти траекторию релятивистской частицы в кулоновском поле U(r) = ? ?/r с помощью уравнения ГамильтонаЯкоби. Нарисовать приближенный вид траектории Мер- курия в поле Солнца с учетом релятивистских поправок.
13. Найти нормальные колебания однородного кольца радиуса R, подвешенного на нити длиною R в поле тяжести g. Рассмотреть лишь малые колебания в плоскости кольца.
14. Шарик массы m движется между тяжјлым поршнем массы
M
? m и дном цилиндра. Равновесное расстояние от дна цилиндра до поршня равно X
0
. Считая, что скорость шарика гораздо боль- ше скорости поршня, определить закон движения поршня, усреднјн- ный по периоду движения шарика. Найти частоту малых колебаний поршня. Соударения считать упругими, ускорение свободного паде- ния g. (Модель газа, состоящего из одной молекулы.)
M
m
2


написать администратору сайта