Главная страница

Необходимые сведения из теории бинарных отношений Бинарное отношение


Скачать 1.19 Mb.
НазваниеНеобходимые сведения из теории бинарных отношений Бинарное отношение
АнкорGeometria2.pdf
Дата16.01.2020
Размер1.19 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаGeometria2.pdf
ТипДокументы
#17390

Подборка по базе: Основы теории управления.pdf, Основы теории информации.docx, Курс теории активных систем - Новиков Д.А., Петраков С.Н..pdf


Необходимые сведения из теории бинарных отношений
Бинарное отношение на множестве M есть любое подмножество R прямого произведения множества M на самого себя (R = M x M) бинарное отношение р между элементами множеств М и N есть подмножество декартова произведения этих множеств
Типы отношений
1. Рефлексивное отношение:
Отношение ρ, заданное на множестве А, называется рефлексивным, если (для любого х ϵ А) выполняется (хρх).(
х находится в отношении
ρ
к самому себе.)
Пример:
ρ = { 𝑎; 𝑎 , 𝑏; 𝑏 , 𝑐; 𝑐 (𝑎; 𝑏)}
2. Симметричное отношение:
Отношение ρ, заданное на множестве А, называется симметричным, если (для любого x,y ϵA) выполняется ((xρy)=>(yρx))
Пример:
ρ = { 𝑎; 𝑏 , 𝑏; 𝑎 , 𝑎; 𝑐 , 𝑐; 𝑎 , 𝑐; 𝑏 , (𝑏; 𝑐)}
3. Транзитивное отношение:
Отношение ρ, заданное на множестве А, называется транзитивным, если (для любого x,y,zϵA) выполняется ((xρy and yρz)=>xρz)
Отношение эквивалентности
Отношение между X и Y, являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, есть отношение эквивалентности.
Примеры отношений эквивалентности:

Отношение конгруэнтности

Отношение подобия
(отношение подобия треугольников есть эквивалентность на множестве всех треугольников.)

Отношение параллельности прямых
Теорема о разбиении множества с заданным отношением эквивалентности
Для любого отношения эквивалентности на множестве А множество классов эквивалентности образует разбиение множества А. Обратно, любое разбиение множества А задает на нем отношение эквивалентности, для которого классы эквивалентности совпадают с элементами разбиения. Классом эквивалентности соответствующим отношением эквивалентности R на множестве А называют подмножество R(a)={b:a

b}
Разбиением множества S называется семейство непустых подмножеств этого множества такое, что объединение всех множеств из этого семейства равно S, а пересечение любых двух различных множеств из семейства пусто. Множества из этого семейства называются классами разбиения.
Теорема
Всякое отношение эквивалентности в непустом множестве M порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что
- всякие два элемента одного класса находятся в отношении a;
- всякие два элемента различных классов не находятся в отношении a.
Основы векторной алгебры
1)Линейно зависимые и линейно независимые векторы.

Векторы а
1

2
…,а n называются ЛЗ, если существуют числа α
1

2…

n одновременно не равные 0, такие, что линейная комбинация в данных векторах с коэф. α
1

2…

n равняется нулевому вектору, в противном случае вектор называется ЛНЗ.
Условие ЛНЗ: Для того, чтобы векторы а
1

2
…,а n были ЛНЗ необходимо чтобы их линейная комбинация равнялась нулевому вектору, только при нулевых коэф.
Условие ЛЗ: Векторы а
1

2
…,а n
ЛЗ ТиТТ, когда какой-нибудь один из них есть линейная комбинация остальных.
2) Признаки коллинеарности и компланарности геометрических векторов.
Определение: Векторы на плоскости называются коллинеарными, если их представители с общим началом располагаются на одной прямой.
Определение: Векторы в пространстве называются компланарными, если их представители с общим началом располагаются в одной плоскости.
Определение: Векторы конгруэнтны, если их длины и направления совпадают.
Признаки:
1. Два ненулевых вектора коллинеарны, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
2. Три вектора в пространстве компланарны, когда определитель, состоящий из их координат равен 0.
3. Векторы a и b коллинеарны ТиТТ, когда a и b-ЛЗ.( Векторы компланарны ТиТТ, когда они ЛЗ)
4. Векторы a и b коллинеарны ТиТТ, когда существует единственная α, при которой a=α·b
3)Понятие базиса.
Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов, которая удовлетворяет следующим условиям:
1.Эта система ЛНЗ.
2.Любой вектор пространства представим в виде линейной комбинации этих векторов.
4)Координаты, действия с векторами в координатах.
Координатами вектора а на плоскости и в пространстве относительно заданного базиса называется коэффициенты разложения вектора а по векторам базиса. ā=α
1
ē
1

2
ē
2
Два вектора равны ТиТТ, когда равны их соответствующие координаты. a=b а i
=b i
Теорема. Координаты линейной комбинации векторов, равны линейной комбинации соответствующих координат векторов с теми же коэффициентами.
ā является суммой(разностью) векторов b и c ТиТТ, когда каждая координата вектора а является суммой(разностью) соответствующих координат векторов b и с. a=b±ca i
=b i
±c i
ā является произведением вектора b на число α ТиТТ, когда каждая координата ā является произведением соответствующих координат вектора b на число α. ā=αba i
=αb i
5)Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов пространства
геометрических векторов.
Базис (𝑎
1
, 𝑎
2
, 𝑎
3
) называется одинаково ориентированным (𝑏
1
, 𝑏
2
, 𝑏
3
) если матрица перехода имеет положительный определитель.
Отношение одинаковой ориентированности называется отношением эквивалентности
Теорема. Отношение одинаковой ориентированности базиса разбивает множество базисов на
2 непересекающихся класса

6)Ориентированная плоскость и ориентированное пространство.
Ориентированной плоскостью называется плоскость с заданным классом эквив-ти одинаковой ориентированности базисов. С пространством аналогично.
Ориентация- класс одинаково ориентированных базисов.
Базис ориентир-го простр-ва принадлежащий данной ориентации наз. положительным базисом
Чтобы задать ориентацию на плоскости (в пространстве) надо зафиксировать какой-нибудь базис , при этом зафиксированный базис называется положительным и любой другой одинаково- ориентированный с ним базис называется положительным, остальные называются отрицательными.
7)Векторные и арифметические системы координат: векторная система координат с
данным полюсом, аффинные и декартовы системы координат, полярная, сферическая и
цилиндрическая системы координат.

Система координат (СК) – это отображение…
Система координат (СК) – способ определять положение точки или тела с помощью чисел
Векторной СК с данным полюсом т.О называется отображение множества в пространство V
3
(V
2
, V
1
), которое каждой т.А ставится соответствие еѐ радиус-вектор
OA (𝜘:A→ OA)
Афинной СК в пространстве
𝐸
3 называется отображение
𝜘: 𝐸
3
→ 𝑅
3
определяемая парой
(
O,(e
1
,e
2
,e
3
)); [где
O𝝐𝐸
3
(e
1
,e
2
,e
3
)-базис] и ставящий каждой т.М
𝝐𝐸
3
координаты (x
1
,x
2
,x
3
) такие что
𝑂𝑀 = 𝑥
1
𝑒
1
+ 𝑥
2
𝑒
2
+ 𝑥
3
𝑒
3
(аналогично на прямой и плоскости)
(0,(e
1
,e
2
,e
3
)) - репер
Если базис ортонормированный, то СК называется декартовой (прямоугольной)
Полярные системы координат
Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.
Цилиндрические координаты:
Цилиндрической системой координат называют трѐхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путѐм добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаѐт высоту точки над плоскостью.

Сферические координаты.
Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел r, φ и θ, где r – расстояние от начала координат до точки M; φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох; θ – угол между положительным направлением оси Oz и радиус-вектором точки М
8) Скалярное произведение и его свойства.
Скалярным произведением двух (ненулевых) векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: аb = |а|·|b|·cos(a,b).
Cв-ва:
1. ab=ba
2. a(b+c)=ab+ac
3.
α(ab)=(αa)b=a(αb)
4. a
2
=|a|
2
, |a|=sqrt(a
2
);
5. ab=0a

b если a≠0,b≠0 6. ab>0(a,b)<π/2; ab<0(a,b)>π/2 7. ab=|a|(|b|*cos(a,b))
8. |e|=1,то ae=|a|*|e|*cos(a,e)
9. (a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2 10. (a-b)(a+b)=a
2
-b
2

9) Выражение скалярного произведения в координатах.
𝒂𝒃 = 𝒂
𝒙
𝒃
𝒙
+𝒂
𝒚
𝒃
𝒚
+ 𝒂
𝒛
𝒃
𝒛
(в ортонормированном базисе)
𝒂𝒃 = 𝒈
𝒊𝒋
𝒂
𝒊
𝒃
𝒋
;
где
𝒈
𝒊𝒋
= 𝒆
𝒊
𝒆
𝒋
ab=∑g ij a
i b
j
Пример: a(a
1
,a
2
),b(b
1
,b
2
) в базисе (e
1
,e
2
) ab=g
11
a
1
b
1
+g
12
(a
1
b
2
+a
2
b
1
)+g
22
a
2
b
2
Метрическими параметрами базиса на плоскости и в пространстве называются скалярные произведения базисных векторов попарно. g ij
=
𝑒 i
𝑒 j
10) Применение скалярного произведения в геометрии.
1. 2 вектора ортогональны
ТиТТ, когда их скалярное произведение равно 0 2. Скалярное произведение применяется для нахождения cos угла между векторами
3. СП применяется для вычисления проекции
4 Любые геометрические вычисления, связанные с длинами
11) Операции векторного и смешанного умножения в ориентированном пространстве и
их свойства: антикоммутативность операции векторного умножения; геометрический смысл
модуля векторного произведения; геометрический смысл модуля смешанного произведения и
геометрический смысл знака смешанного произведения; выражение в координатах векторного
и смешанного произведения.
Опр: Операция векторного умножения:
Векторным произведением двух коллинеарных векторов в ориентированном пространстве является 0
𝑎 ||𝑏 => 𝑎 𝑏 = 0
¬
𝑎 ||𝑏 𝑐 = [𝑎 𝑏 ]
𝑐 удовлетворяет следующим условиям:
𝑎 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑠𝑖𝑛|𝑎 ^𝑏 |
𝑐 ⊥ 𝑎 , 𝑐 ⊥ 𝑏
(
𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) ∈ Б
+
Опр: Операция смешанного умножения:
Смешанным произведением 3-х векторов (
𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) в ориентированном пространстве называется число
𝑎 𝑏 𝑐 = [𝑎 𝑏 ]𝑐
Свойства:
антикоммутативность операции векторного умножения:
Операция векторного умножения антикоммутативна [ā ƀ]=-[ƀ ā]
геометрический смысл модуля векторного произведения:
модуль произведения двух неколиниарных векторов равняется площади параллелограмма построенного на векторах как на сторонах.
S
прл.
= |ā| |ƀ| sinα = |[ā ƀ]|
геометрический смысл модуля смешанного произведения:
модуль смешанного произведения 3-х некомпланарных векторов является объем параллелепипеда построенного на представителях этих векторов, построенных из оной точки.
𝑎 𝑏 𝑐 = | 𝑎 𝑏 ∗ 𝑐 ∗ cos⁡| 𝑎 𝑏
^
𝑐 ||
выражение в координатах векторного и смешанного произведения:
выражение векторного произведения в координатах:
пусть вектора ā и ƀ заданы своими координатами относительно плоскости ортонормиророванного базиса, тогда их векторное произведение имеет след координатное представление
[ā ƀ]
𝑎
𝑦
𝑎
𝑧
𝑏
𝑦
𝑏
𝑧
,
𝑎
𝑧
𝑎
𝑥
𝑏
𝑧
𝑏
𝑥
,
𝑎
𝑥
𝑎
𝑦
𝑏
𝑥
𝑏
𝑦
выражение смешанного произведения в координатах: имеет место следующее равенство:
𝑎 𝑏 с = 𝑒1
𝑒2
𝑒3

𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3
Где компоненты определителя являются координаты векторов
𝑎 , 𝑏 , 𝑐 относительно базиса (e1,e2,e3)
геометрический смысл знака смешанного произведения:
āb̄c̄>0(ā,b̄,c̄)𝜖Б
+
Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух любых сомножителей.
геометрический смысл модуля смешанного произведения:
¬Cp(
𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) в этом случае модуль всех частей равенства 𝑎 𝑏 𝑐 = −𝑏 𝑎 𝑐 = −𝑎 𝑐 𝑏 = −𝑐 𝑎 𝑏 совпадает как объем параллелипипеда.
Аналитический метод
1)Формулы преобразования систем координат.
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием
системы координат.
1. Афинная СК
Рассмотрим 2 афф.СК (0,(e1,e2,e3)) и (0,(e1’,e2’,e3’))
(e1,e2,e3)=(e1’,e2’,e3’)*A
Теорема. Переход от Аф.СК (o,(e1,e2,e3)) к (o',(e1',e2',e3')) определяется равенством
𝑥
α
=
𝐴
α′
α
𝑥
α′
+ 𝑥
0
α
где
𝑥
α
-коорд. точки
𝑥
α′
-коорд. точки в нов. СК
𝑥
0
α
-коорд. точки в старой СК
𝐴
α′
α
-матр. перехода от
𝑒
𝛼
к
𝑒
α′
2. Векторная СК
Переход из векторной СК
𝟆′
в
𝟆
определяемая равенством:
𝑟 = 𝑟

+ 𝑂𝑂′
(или 𝑂𝐴
= 𝑂′𝐴
+ 𝑂𝑂′
)
3. Декартова СК
Переход от (o,(i̅’,j̄’,k̄’)) к (o,(i̅,j̄,k̄))
𝑥 = 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝛼
1
+ 𝑦

𝑐𝑜𝑠𝛽
1
+ 𝑧

𝑐𝑜𝑠𝛾
1
+ 𝑥
0
𝑦 = 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝛼
2
+ 𝑦

𝑐𝑜𝑠𝛽
2
+ 𝑧

𝑐𝑜𝑠𝛾
2
+ 𝑦
0
𝑧 = 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝛼
3
+ 𝑦

𝑐𝑜𝑠𝛽
3
+ 𝑧

𝑐𝑜𝑠𝛾
3
+ 𝑧
0
Переход от (o,(i̅’,j̄’)) к (o,(i̅,j̄))
𝑥 = 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦

𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑥
0
или
𝑥 = 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝛼
1
+ 𝑦

𝑐𝑜𝑠𝛽
1
+ 𝑥
0
𝑦 = 𝑥

𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦

𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑥
0
𝑦 = 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝛼
2
+ 𝑦

𝑐𝑜𝑠𝛽
2
+ 𝑦
0
или

2)Основные формулы аналитической геометрии.
1)Выражение координат вектора через координаты его начала и конца: вектор AB (x
2
-x
1
,y
2
-y
1
,z
2
-z
1
), где т.А(x
1
,y
1
,z
1
), т.B(x
2
,y
2
,z
2
)
2)Расстояние между двумя точками:
|AB|=√( (x
2
-x
1
)^2+(y
2
-y
1
)^2+ (z
2
-z
1
)^2 )
3)Площадь треугольника с вершинами А(x
1
,y
1
,z
1
), B(x
2
,y
2
,z
2
), C(x
3
,y
3
,z
3
)
4) Деление отрезка в отношении λ:
5) Угол между векторами
3) Уравнения фигур.
Фигура Ф, определяемая уравнением F(x,y,z), называется алгебраической фигурой порядка P, если
F(x,y,z) – многочлен степени Р.Всякую прямую на плоскости можно задать уравнением.
Определение: Уравнение фигур - такое уравнение, которым удовлетворяют координаты точек.
Основные виды уравнений на плоскости:
1. Общее уравнение
l:
Ax + By + C = 0 (A
2
+B
2
≠0)
2. Каноническое уравнение
𝑥−𝑥
0
𝑎
1
=
𝑦−𝑦
0
𝑎
2 3. Параметрическое уравнение: x=x
0
+a
1
t y=y
0
+a
2
t
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом l: y = kx + b
5. Уравнение окружности
(A(a,b)-середина окр. B(x,y)-на окр
(x − a)
2
+ (y − b)
2
= R
2
сферы:
(x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (𝑧 − c)
2
= R
2
)
6. Каноническое уравнение эллипса
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
=1

7. Уравнение гиперболы
𝑦 =
1
𝑥
;
𝑦𝑥 = 1
Каноническое:
𝑥
2
𝑎
2

𝑦
2
𝑏
2
=1 8. Уравнение параболы
𝑦 = 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Каноническое: y
2
=2px, Число p равно расстоянию от фокуса до директрисы.
4)График уравнения.
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.
5) Классификация фигур.
Классификация фигур. Фигуры бывают алгебраические порядка p (если отн. афф. сист. коорд. задаются уравнением F=0 где F - многочлен с макс. степенью p) и трансцендентными.
6)Цилиндры, конусы, фигуры вращения.
Цилиндр- назыв. объединение непустого множества парал. между собой прямых, называемых образующими. Фигура, имеющая с каждой из образующей одну точку назыв. направляющей цилиндра. Круглым цилиндром называется цилиндр, имеющий в качестве направл. окружность, образующ. которого перпендикулярна плоскости этой окружности.
Уравнение цилиндра равно уравнению его направляющей.
Конусом наз. непустое множ.объединения прямых, проходящих через фиксированную точку,наз. вершиной, прямые назыв. образующ. конуса. Фигура, имеющая одну точку с каждой из образующ. конуса и не проходящей через вершину назыв. направляющей конуса. Круглый конус-объединение непустого мн-ва прямых, проходящих через точку, назыв. вершиной и имеющей окружность в качестве образующей.
Уравнение конуса
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2

𝑧
2
𝑐
2
=1
Фигуры вращения-назыв. непустое объединение множеств окружностей, центры которых лежат на прямой, назыв. осью вращения. Направляющая перпендикулярна прямой.
Фигуры 1-ого порядка
1)Основные теоремы о прямой на плоскости, о плоскости и прямой в пространстве.
Всякая фигура первого порядка на плоскости есть прямая заданная уравнением ax+by+c=0 и всякая прямая на плоскости является фигурой первого порядка. a
2
+b
2
≠0.
Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением: ax+by+cz+d=0 и обратно, всякое линейное уравнение ax+by+cz+d=0 определяет плоскость в пространстве.
Пусть в пространстве задана произвольная система координат. Тогда всякая прямая в пространстве может быть задана уравнениями вида :
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
, в которых либоA
1

2
≠В
1

2
, либо В
1

2
≠С
1

2
.Обратно, любые уравнения вида
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
с указанным ограничением на числа A
1
, A
2
, B
1
, B
2
, C
1
и C
2
определяют прямую
2)Основные виды уравнений прямой на плоскости, плоскости и прямой в пространстве в
аффинных координатах.
Уравнения прямой на плоскости

1. Общее
Ax+By+C=0 (
A
2
+
𝐵
2
≠ 0)
1.1 Общее (2-ая запись)
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)=0 2. Каноническое
𝑥−𝑥
0
𝑎
1
=
𝑦−𝑦
0
𝑎
2
где т.M
(
𝑥
0
, 𝑦
0
)
∈ 𝑙
(
𝑥 − 𝑥
0
,
𝑦 − 𝑦
0
)-коорд. прямой
(
𝑎
1
, 𝑎
2
)-коорд.вектора //l
3. Проходящая через 2 точки
𝑥−𝑥
0
𝑥
1
−𝑥
0
=
𝑦−𝑦
0
𝑦
1
−𝑦
0 4. Параметрическое x=
𝑥
0
+ 𝑎
1
𝑡 y=
𝑦
0
+ 𝑎
2
𝑡
5. Уравнение с угловым коэф. y=kx+b
6. Прямая на плоскости в аффинной с/к
Au
1
+Bu
2
=0, где ū(u
1
,u
2
) || L.
Уравнения прямой в пространстве
1. Общее
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
при усл. 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
𝐴
2
𝐵
2
𝐶
2
= 2 2. Канонические (стандартные) уравнения прямой, проходящей через точку М
0
(x
0
, y
0
, z
0
) и имеющей направляющий вектор ̅a
(
𝑎
1,
𝑎
2
, 𝑎
3
)
𝑥−𝑥
0
𝑎
1
=
𝑦−𝑦
0
𝑎
2
=
𝑧−𝑧
0
𝑎
3 3. Параметрические уравнения прямой x = x
0
+
𝑎
1
t y = y
0
+
𝑎
2
t z = z
0
+
𝑎
3
t
4. Проходящая через 2 точки
𝑥−𝑥
0
𝑥
1
−𝑥
0
=
𝑦−𝑦
0
𝑦
1
−𝑦
0
=
𝑧−𝑧
0
𝑧
1
−𝑧
0
Уравнения плоскости в пространстве
1. Общее уравнение плоскости:
Ax+By+Cz+D=0
(
A
2
+ 𝐵
2
+ 𝐶
2
≠ 0)
2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М
0
(x
0

0
,z
0
) перпендикулярно вектору n(А,В,С) :
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки M
1
(x
1
,y
1
,z
1
), M
2
(x
2
,y
2
,z
2
) , М
3
(x
3
, у
3
, z
3
), не лежащие на одной прямой

4. Параметрическое уравнение плоскости
𝑥 − 𝑥
0
= 𝑢𝑎
1
+ 𝑣𝑏
1
𝑦 − 𝑦
0
= 𝑢𝑎
2
+ 𝑣𝑏
2
𝑧 − 𝑧
0
= 𝑢𝑎
2
+ 𝑣𝑏
2 5. Уравнение плоскости пространстве в аффинных c/к. ū(u
1
,u
2
,u
3
)
Au
1
+Bu
2
+Cu
3
=0.
3)Прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве в декартовых координатах.
Прямая на плоскости В декартовой с/к Ax+By+C=0 (
A
2
+
𝐵
2
≠ 0)
ā(-B,A)
//l n
̄ (A,B)l
Уравнение плоскости пространстве В декартовой Ax+By+Cz+d=0.
4)Углы между прямыми, прямой и плоскостью.
Теорема (угол между прямыми) В декар. с/к.
L
1
: y=k
1
x+b
1
; L
2
: y=k
2
x+b
2 tg(L
1
,L
2
)=|
𝑘
1
−𝑘
2 1+𝑘
1
𝑘
2
|
(
усл-е перпендик-ти 2-ух прямых
𝑘
2
= −
1
𝑘
1
)
L:Ax+By+C=0; L
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0; cos
𝛼
=
|𝐴𝐴
1
+𝐵𝐵
1
|
𝐴
2
+𝐵
2
∗ 𝐴
1 2
+𝐵
1 2
sin
𝛼
=
|𝐴𝐵
1
−𝐴
1
𝐵|
𝐴
2
+𝐵
2
∗ 𝐴
1 2
+𝐵
1 2
tg
𝛼
=
|𝐴𝐵
1
−𝐴
1
𝐵|
|𝐴𝐴
1
+𝐵𝐵
1
|
Теорема (угол между прямой и плоскостью) В декар. с/к.
L:
𝑥−𝑥
0
𝑎
1
=
𝑦−𝑦
0
𝑎
3
=
𝑧−𝑧
0
𝑎
3
П: Ax+By+Cz+D=0
Sin(L,П)=
|𝐴𝑎
1
+𝐵𝑎
2
+𝐶𝑎
3
|
𝐴
2
+𝐵
2
+𝐶
2
∗ 𝑎
1 2
+𝑎
2 2
+𝑎
3 2
Cos(L,П)=
(𝐵𝑎
3
−𝐶𝑎
2
)
2
+(𝐶𝑎
1
−𝐴𝑎
3
)
2
+(𝐴𝑎
2
−𝐵𝑎
1
)
2
𝐴
2
+𝐵
2
+𝐶
2
∗ 𝑎
1 2
+𝑎
2 2
+𝑎
3 2
Теорема (угол между плоскостями) В декар. с/к
П1: A
1
x+B
1
y+C
1
z+D=0
П2: A
2
x+B
2
y+C
2
z+D=0
Cos(П1,П2)=
|𝐴1𝐴2+𝐵1𝐵2+𝐶1𝐶2|
𝐴1 2
+𝐵1 2
+𝐶1 2
∗ 𝐴2 2
+𝐵2 2
+𝐶2 2
5)Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.
Теорема (о расстоянии от точки до плоскости)
Расстояние от т.M(x
1
,y
1
,z
1
) до плоскости П: Ax+By+Cz+D=0. В декар. с/к определяется формулой p(M,П)=
( Ax
1
+By
2
+Cz
1
+D)
𝐴
2
+𝐵
2
+𝐶
2
Теорема (о расстоянии от точки до прямой)
M(x
1
,y
1
) L: Ax+By+C=0.
В декар. с/к определяется формулой p(M,L)=
|𝐴𝑥
1
+𝐵𝑦
1
+𝐶|
𝐴
2
+𝐵
2
M(x
1
,y
1
,z
1
) L:
𝑥−𝑥
0
𝑎
1
=
𝑦−𝑦
0
𝑎
2
=
𝑧−𝑧
0
𝑎
3
p(M, L) = y
1
− y
0
z
1
− z
0
a
2
a
3 2
+ z
1
− z
0
x
1
− x
0
a
3
a
1 2
+ x
1
− x
0
y
1
− y
0
a
1
a
2 2
a
1 2
+ a
2 2
+ a
3 2
6) Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Отрезок, соединяющий точки на скрещивающихся прямых и перпендикулярный этим прямым, называется их общим перпендикуляром. Длина общего перпендикуляра называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
L
1
:
𝑥−𝑥
0
𝑎
1
=
𝑦−𝑦
0
𝑎
2
=
𝑧−𝑧
0
𝑎
3
L
2
:
𝑥−𝑥
1
𝑎
1
=
𝑦−𝑦
1
𝑎
2
=
𝑧−𝑧
1
𝑎
3
p(L1, L2) =
𝑚𝑜𝑑 a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
𝑥 − 𝑥
0
𝑦 − 𝑦
0
𝑧 − 𝑧
0
a
2
a
3
b
2
b
3 2
+
a
3
a
1
b
3
b
1 2
+
a
1
a
2
b
1
b
2 2
Фигуры второго порядка на плоскости и в пространстве
1)Определение и построение эллипса, гиперболы и параболы.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных несовпадающих точек, называемыми фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых до фокусов есть величина постоянная, меньшее чем расстояние между фокусами.
Параболой называется множество точек плоскости, равноудалѐнных от директрисы параболы и фокуса.
2)Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
Каноническое уравнение эллипса:
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
=1 Где b
2
=a
2
-c
2
Каноническое уравнение гиперболы:
𝑥
2
𝑎
2

𝑦
2
𝑏
2
=1 Где b
2
=c
2
-a
2
Каноническое уравнение параболы: у
2
=2px,p>0(или x
2
=2py, если поменять местами оси)
Число p равно расстоянию от фокуса до директрисы.
3)Равносторонняя гипербола.
Гипербола называется равносторонней (или равнобочной), если длины ее полуосей равны между собой. Поскольку для равносторонней гиперболы a = b, уравнение ее имеет вид: х
2
— у
2
= а
2
Асимптотами равносторонней гиперболы являются прямые у = х и
у = -х. Таким образом, асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.
4) Директориальное свойство кривых второго порядка.
Отношение фокального расстояния любой точки эллипса/гиперболы к расстоянию директрисы, есть величина постоянная, равная эксцентриситету


написать администратору сайта